- Schätztheorie
- Schätz|theorie,mathematische Statistik: mathematische Theorie, die sich mit der Aufgabe befasst, Maßzahlen (z. B. Wahrscheinlichkeiten, Mittelwerte, Varianzen, Quantile, Korrelationskoeffizienten) oder Dichten einer unbekannten Verteilung aufgrund einer Stichprobe x = (x1, x2,. .., xn) durch einen Wert (Schätzwert) T (x) näherungsweise zu bestimmen. Das einfachste Beispiel ist die Schätzung des Erwartungswerts durch den Stichprobenmittelwert x̅. Sofern die Maßzahlen Parameter der zugelassenen Ausgangsverteilung sind, handelt es sich um die Schätzung von Parametern. Die auf dem Stichprobenraum erklärte Funktion T heißt Schätzfunktion oder Schätzer. Die Güte einer Schätzfunktion wird aufgrund ihres zufälligen Verhaltens bei mehrfacher Anwendung beurteilt. Gute Schätzfunktionen sollten folgende Eigenschaften besitzen: 1) Ist X = (X1, X2,. .., Xn) der Vektor der Stichprobenvariablen, so stimmt T (X ) im Mittel mit der zu schätzenden Größe überein (Erwartungstreue von T ); 2) T (X) hat möglichst kleine Varianz (Minimum-Varianz-Schätzfunktionen); 3) T (X ) konvergiert in Wahrscheinlichkeit (Konvergenz) gegen die zu schätzende Größe (Konsistenz); 4) die Verteilung der Schätzfunktion ändert sich wenig bei kleinen Änderungen der Verteilungsannahme (Robustheit); 5) T (x) ist (bei linearen Modellen) eine lineare Funktion der Stichprobenwerte.Prinzipien zur Konstruktion guter Schätzfunktionen sind z. B. die Maximum-Likelihood-Methode und bei linearen Modellen (insbesondere bei der linearen Regression) die Methode der kleinsten Quadrate. Oft wird zur Schätzung einer Maßzahl die entsprechende Maßzahl der zur Stichprobe x gehörenden empirischen Verteilung verwendet, mitunter mit einem Korrekturfaktor zur Erreichung der Erwartungstreue. Diese Methode führt z. B. bei der Schätzung der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert mit dem Korrekturfaktor n / (n - 1) auf die erwartungstreue StichprobenvarianzDie Schätzung von Maßzahlen wird auch als Punktschätzung bezeichnet, im Unterschied zur Bereichsschätzung (Konfidenzschätzung).R. Storm: Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathemat. Statistik u. statist. Qualitätskontrolle (101995).
Universal-Lexikon. 2012.
